Álgebra Linear Computacional

Aula 01: Vetores, Matrizes e Espaço Vetorial

Heitor S. Ramos
ramosh@dcc.ufmg.br

Créditos

Important

Os slides desse curso são fortemente baseados no curso do Fabrício Murai e do Erickson Nascimento

Objetivos de Aprendizagem

  1. Saber representar certos objetos como vetores
  2. Reconhecer conjuntos de vetores que definem e que não definem espaços vetoriais
  3. Reconhecer e saber demonstrar que uma função é linear
  4. Saber converter uma matriz para uma função linear e vice-versa
  5. Entender a relação entre a coluna de uma matriz e a aplicação da função linear a um dos vetores canônicos
  6. Compreender o espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores
  7. Determinar o espaço linha e coluna de uma matriz
  8. Entender a relação da multiplicação \(Ax\) e do espaço coluna de \(A\)

Referências Adicionais

O que é um vetor?

  • Um vetor é uma lista de números:
    • \((3.141592, 1.618, 2.71, 9.8)\)
  • Para um campo \(F\) e um inteiro positivo \(n\), uma sequência de \(n\) valores pertencentes a \(F\) é chamado de n-vetor sobre \(F\)
    • Campo é uma coleção de valores com operações de adição (\(+\)) e multiplicação (\(\times\)): números complexos, números reais, números inteiros, etc.

O que podemos representar com vetores?

  • Strings binárias: Uma string binária de n-bits \(10111011\) pode ser representada por um n-vetor \((1,0,1,1,1,0,1,1)\)
  • Atributos: em ciência de dados, datasets são compostos por itens que são representados por uma coleção de atributos valorados
    • Jane = {‘age’: 30, ‘education’: 16, ‘income’: 85,000}
  • Distribuição de probabilidade:
    • \(\{1: 1/6, 2: 1/6, 3: 1/6, 4: 1/6, 5: 1/6, 6: 1/6\}\)

O que podemos representar com vetores?

\[X\in \mathbb{R}^{8\times 8}\]

\[X\in \mathbb{R}^{64}\]

Espaços Vetoriais

  • Espaço vetorial: é um conjunto \(V\) fechado para a adição e multiplicação escalar que satisfaz as propriedades:
    1. comutativa e associativa da adição: \({\bf v}+ {\bf w} = {\bf w}+{\bf v}\)
    2. distributiva: \(a({\bf v}+ {\bf w}) = a{\bf v} + a{\bf w}\)
    3. identidade multiplicativa: \(1{\bf v} = {\bf v}\)
    4. compatibilidade multiplicativa: \((ab){\bf v} = a(b{\bf v})\)

Dependendo da forma como você define os operadores de adição e multiplicação escalar, o conjunto de vetores pode ou não consistir em um espaço vetorial

Espaços Vetoriais

  • Um conjunto \(V\) de vetores é chamado um espaço vetorial se:
    • \(V\) contém o vetor nulo
    • para cada vetor \({\bf v}\), se \(V\) contém \({\bf v}\), então contém \(a {\bf v}\) para todo escalar \(a\)
    • para cada par \({\bf u}\) e \({\bf v}\) de vetores, se \(V\) contém \({\bf u}\) e \({\bf v}\) então contém \({\bf u} + {\bf v}\)

Espaços Vetoriais

  • Exemplo 1: \(\mathbb{R}^2\)
    • \((1,2) + (-3,4) = (1-3, 2+4) = (-2,6)\)
    • \(10(-1,1) = (10(-1),10(1)) = (-10,10)\)

Espaços Vetoriais

  • Exemplo 2: Polinômios com coeficientes reais
    • um polinômio \(p\) é uma função \(p\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) da forma
      • \(p(x) = \sum_k a_kx^k\)
    • Ex: \(p(x) = x^2+2x\) e \(g(x) = x^3\)
      • \(3p(x) + 5g(x) = 5x^3+3x^2+6x\)

Espaços Vetoriais

  • Polinômios e vetores
    • O polinômio \(p(x) = \sum_k a_kx^k\) pode ser identificado pela sequência \({\bf v} = (a_0,a_1,\ldots,a_k)\)
  • Uma soma ponderada \(\sum_k c_k{\bf v}_k\), onde \(c_k \in \mathbb R\) e \({\bf v}_k \in V\) é conhecida como uma combinação linear dos \({\bf v}_k\)’s

Espaços Vetoriais

  • Exemplos:
    • \(\mathbb R\) (reta real), \(\mathbb R^2\) (plano bidimensional real), \(\mathbb R^3\) (espaço real tridimensional) e \(\mathbb R^n\) (espaço euclidiano n-dimensional)
    • Uma linha que cruza a origem
    • Um plano que contém a origem

Linearidade

  • Uma função que leva de um espaço vetorial a outro é dita linear quando preserva a estrutura linear:

  • Sejam \(V\) e \(V'\) espaços vetoriais, então \(L\colon V \rightarrow V'\) é linear se satisfaz os dois critérios seguintes para todo \(v, v_1, v_2 \in V\) e \(c \in \mathbb R\)

    • \(L\) preserva somas: \(L(v_1+v_2) = L(v_1) + L(v_2)\)
    • \(L\) preserva produto por escalar: \(L(cv) = cL(v)\)

Linearidade

  • Exemplo: o seguinte mapa \(f\colon \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3\) é linear
    • \(f(x,y) = (3x, 2x+y, -y)\)
  • Preservação do produto escalar: \(f(cx,cy) = cf(x,y)\) \[f(cx,cy) = (3cx, 2cx+cy, -cy)\] \[f(cx,cy) = c(3x, 2x+y,-y)\] \[f(cx,cy) = cf(x,y)_\square \]

Linearidade

  • Preservação da soma: \(f(x_1+x_2, y_1+y_2) =\)

Linearidade

  • A base canônica de \(\mathbb R^n\) é da forma
    • \(e_k = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\)
    • \(e_1 = (1,0,0,\ldots, 0)\)
    • \(e_2 = (0,1,0,\ldots, 0)\)
    • \(e_3 = (0,0,1,\ldots, 0)\)
    • \(\ldots\)
    • \(e_k\) tem todos os elementos iguais a \(0\), exceto pela \(k\)-ésima posição, que contém 1

Linearidade

  • O vetor \(v = (1,3,-4)\) é igual a
    • \(v = 1(1,0,0) + 3(0,1,0) -4(0,0,1)\)
    • \(v = (1,0,0) + (0,3,0) + (0,0,-4)\)
    • \(v = (1,3,-4)\)
  • \(e_1 = (1,0,0)\)
  • \(e_2 = (0,1,0)\)
  • \(e_3 = (0,0,1)\)

Linearidade

  • Dado que um vetor \(a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb R^n\) é igual a soma \(\sum_k a_ke_k\), onde \(e_k\) é o \(k\)-ésimo vetor canônico, então podemos escrever mapas lineares como:
    • \(L(a) = L(\sum_k a_ke_k)\)
    • \(L(a) = \sum_k L(a_ke_k)\) (preservação da soma)
    • \(L(a) = \sum_k a_kL(e_k)\) (preservação do produto por um escalar)

Linearidade

  • Então, podemos usar \(L(a) = \sum_k a_kL(e_k)\) para determinar \(L(a)\) por linearidade usando \(L(e_k)\)’s

  • Exemplo: \(f(x,y) = (3x, 2x +y, -y)\)

    • \(f(e_1) = (1,0) = (3,2,0)\)
    • \(f(e_2) = (0,1) = (0,1,-1)\)
    • \(f(x,y) = xf(e1) + yf(e_2) = x\begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3x\\2x+y\\-y\end{bmatrix}\)

Matriz

Matrix

  • A expansão de mapas lineares \(L(a) = \sum_k a_kL(e_k)\) sugere que seria interessante ter uma estrutura para armazenar múltiplos vetores \(L(e_k)\)
  • \(v_1 = \begin{bmatrix}v_{11}\\ \ldots \\ v_{m1}\end{bmatrix}\), \(v_2 = \begin{bmatrix}v_{12}\\ \ldots \\ v_{m2}\end{bmatrix}\), \(\ldots\), \(v_n = \begin{bmatrix}v_{1n}\\ \ldots \\ v_{mn}\end{bmatrix}\)
  • \(M = \begin{bmatrix} v_{11} &\ldots &v_{1_n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ v_{m1} &\ldots &v_{mn}\end{bmatrix}\)

Multiplicação por matrizes

  • Matrizes são formas convenientes de armazenar conjunto de vetores
    • podemos usar multiplicação por vetores para obter uma combinação linear das colunas \[\begin{bmatrix} | &\ldots &| \\ v_1 &\ddots &v_n \\ | &\ldots &|\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1\\ \ldots \\ c_n \end{bmatrix} = c_1v_1 + \ldots + c_nv_n \]

Matrizes

  • Voltando à nossa função linear \(f(x,y)\), podemos escrevê-la como
    • \(f(x,y) = \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 2 & 1 \\ 0 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 2x +y \\ -y\end{bmatrix}\)

Objetos representados por matriz

Matriz vs Vetores

Espaço Coluna e Espaço Linha

  • Matriz pode ser interpretada como:
    • Um conjunto de colunas
    • Um conjunto de linhas
  • Então, existem dois espaços vetoriais gerados pelas colunas de \(M\)
    • O espaço coluna é o espaço vetorial gerado pelas colunas de \(M\)
    • O espaço linha é o espaço vetorial gerado pelas linhas de \(M\)

Espaço gerado (span)

  • O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores \(v_1, \ldots, v_n\) é chamado de espaço gerado por esses vetores. Iremos denotar por \[\text{Span}\{v_1, \ldots, v_n\}\]
  • Exemplo: Quantos vetores estão no espaço gerado pelo vetor \((2,3)\) sobre \(\mathbb R\)?
  • infinitos! o espaço gerado é \(\{a(2,3)\colon a\in \mathbb R\}\). Este conjunto consiste nos pontos sobre a linha que corta a origem e o ponto \((2,3)\)

Espaço coluna e linha

  • Dada a matriz \[M =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \end{bmatrix}\]
    • o espaço coluna é \(\text{Span}\{(1,10), (2,20), (3,30)\}\). Dado que os vetores \((2,20)\) e \((3,30)\) são múltiplos escalares de \((1,10)\), o espaço coluna é \(\text{Span}\{(1,10)\}\)
    • o espaço linha é \(\text{Span}\{(1,2,3), (10,20,30)\}\). Dado que o vetor \((10,20,30)\) é múltiplo escalar de \((1,2,3)\), o espaço coluna é \(\text{Span}\{(1,2,3)\}\)

O espaço coluna e \(Ax\)

  • O espaço coluna de \(A\) é o conjunto contendo todas as combinações lineares dos vetores colunas de \(A\)
  • Mas a matriz \(A\) multiplicada pelo vetor \(x\) é justamente \[\begin{bmatrix} | &\ldots &| \\ A_1 &\ddots &A_n \\ | &\ldots &|\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ \ldots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1A_1 + \ldots + x_nA_n \]
    • Que é uma combinação linear das colunas de \(A\)

O espaço coluna e \(Ax\)

  • O espaço coluna de \(A\) contém todos os vetores de \(Ax\) 😮 \[\begin{bmatrix} | &\ldots &| \\ A_1 &\ddots &A_n \\ | &\ldots &|\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ \ldots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1A_1 + \ldots + x_nA_n \]

Exemplo 1

\[A = \begin{bmatrix}2 &1 &3 \\ 3 &1 &4 \\ 5 &7 &12\end{bmatrix}\] \[Ax = x_1\begin{bmatrix}2\\ 3 \\ 5\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}1\\ 1 \\ 7\end{bmatrix}+ x_3\begin{bmatrix}3\\ 4 \\ 12\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 3x_1 + x_2 + 4x_3 \\ 5x_1 + 7x_2 + 12x_3\end{bmatrix}\]

https://heitorramos.github.io/alc.html