A definição de norma euclidiana garante que para todos os escalares \(\alpha\)
\[\Vert x\Vert \ge 0 \text{, } \Vert x\Vert = 0 \Leftrightarrow x =0 \text{ e } \Vert \alpha x\Vert = \vert \alpha\vert \, \Vert x \Vert\]
Normalização do vetor
Dado um vetor \(x \ne 0\), é frequentemente conveniente termos outro vetor que aponta para a mesma direção que \(x\) mas apresenta comprimento unitário. Para isso, normalizamos o vetor
Quando algo pode ser considerado uma função de distância ou tamanho de vetores?
Quando não teremos contradição?
Que propriedades valem para uma norma (válida) qualquer?
Matemáticos possuem uma definição genérica de norma que vale também para outras situações além de matrizes
Norma: definição
Norma de um vetor (definição geral)
A norma para um espaço vetorial \(\mathcal V\) real ou complexo é uma função \(\Vert \star \Vert\) que mapeia \(\mathcal V\) em \(\mathbb R\) e que satisfaz as seguintes condições
\(\Vert x \Vert \ge 0 \text{ e } \Vert x \Vert =0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(\Vert \alpha x\Vert = \vert \alpha \vert \Vert x\Vert\) para todos escalares \(\alpha\)
\(\Vert x+y\Vert \le \Vert x \Vert + \Vert y \Vert\).
Norma L2 e Lp
Generalizando:
\(\Vert x \Vert_1 = \sqrt[1]{\sum_{i=1}^n \vert x_i \vert^1}\)
\(\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n \vert x_i \vert^2}\)
\(\Vert x \Vert_p = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n \vert x_i \vert^p}\)
\(\Vert x \Vert_\infty = \max_i \vert x_i\vert\)
Falhas
\(p=0\) não é uma norma válida pois \(\Vert 2v\Vert_0 = \Vert v \Vert_0\), que viola a propriedade da multiplicação por um escalar.
\(p<1\) também não é norma. Ex: \(p=1/2\) falha na desigualdade triangular pois \((1,0)\) e \((0,1)\) têm norma 1, mas a soma \((1,1)\) teria norma \(2^{1/p}=4>2\). Apenas \(1\le p\le \infty\) produz normas aceitáveis \(\Vert v \Vert_p\)
Exemplo
Calcular as normas 1, 2 e \(\infty\) do vetor \(x = \begin{bmatrix}2 &-3& 1\end{bmatrix}^\top\)
Às vezes é fácil provar um resultado usando uma definição de distância, mas é impossível usando outra
Por exemplo, poderia ser fácil mostrar que L1 ou L\(_\infty\) de um vetor decresce para zero
Mas queremos mesmo é que sua norma L2 vá para zero
Mas isso será verdade!
Para quê normas diferentes?
Todas as normas \(\mathbb R^n\) são equivalentes, ou seja, se \(\Vert \cdot \Vert_\alpha\) e \(\Vert \cdot \Vert_\beta\) são normas no \(\mathbb R^n\), então existem constantes positivas \(k_1\) e \(k_2\), tais que \[ k_1\Vert x\Vert_\alpha \le \Vert x \Vert_\beta \le k_2\Vert x\Vert_\alpha,\] para todo \(x\in \mathbb R^2\), particularmente, \[\Vert x\Vert_2 \le \Vert x\Vert_1 \le \sqrt n \Vert x\Vert_2\]
\[ \Vert x \Vert_\infty \le \Vert x\Vert_2 \le \sqrt n \Vert x\Vert_\infty\]
\[\Vert x\Vert_\infty \le \Vert x \Vert_1 \le n \Vert x \Vert_\infty\]
Se \(\Vert x\Vert_1\) for pequena, \(\Vert x \Vert_2\) será pequena também
Propriedades com Lp
Normas Lp possuem as mesmas propriedades que vimos antes
\(\Vert x \Vert_p \ge 0 \text{ e } \Vert x \Vert_p =0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(\Vert \alpha x\Vert_p = \vert \alpha \vert \Vert x\Vert_p\) para todos escalares \(\alpha\)
\(\Vert x+y\Vert_p \le \Vert x \Vert_p + \Vert y \Vert_p\)
Uma razão menos teórica
Vamos querer o menor vetor \((w_1, w_2)\) que pertença a um certo conjunto
