Correlação com despesas médicas

Material de estudo da Aula 16

Objetivos

Este material usa a base Medical Insurance Cost para estudar associação entre variáveis quantitativas. Ao final, você deve conseguir:

  1. calcular e interpretar covariância e correlação de Pearson;
  2. explicar por que Pearson está entre \(-1\) e \(1\);
  3. comparar Pearson e Spearman;
  4. reconhecer não linearidade, pontos influentes e restrição de amplitude;
  5. distinguir correlação marginal e condicional;
  6. quantificar a incerteza de uma correlação amostral.

Como estudar este capítulo

O fio condutor é uma pergunta simples: quando duas variáveis mudam juntas, como podemos descrever esse padrão sem confundir associação com causalidade? Começaremos pelo gráfico de dispersão, porque um único coeficiente nunca conta toda a história. Em seguida, construiremos covariância, Pearson e Spearman a partir daquilo que se observa no gráfico.

Leia cada bloco nesta ordem: primeiro identifique a pergunta, depois examine a figura ou a tabela, tente antecipar o resultado e somente então abra o código. O código registra como a análise foi produzida; a interpretação explica o que ela permite concluir. Ao final, você deve conseguir escolher uma medida de associação, reconhecer situações em que ela engana e redigir uma conclusão compatível com os dados.

1. Obtenção e preparação da base

A base está disponível no Kaggle sob licença CC0. Cada linha representa uma pessoa segurada. Para tornar o material reproduzível também sem rede, o repositório contém uma cópia local do arquivo usado na aula.

from pathlib import Path

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from scipy.stats import pearsonr, spearmanr

local_file = Path("data/insurance.csv")
if local_file.exists():
    csv_path = local_file
else:
    import kagglehub
    path = kagglehub.dataset_download(
        "mosapabdelghany/medical-insurance-cost-dataset"
    )
    csv_path = next(Path(path).rglob("*.csv"))

df = pd.read_csv(csv_path)
df.head()
age sex bmi children smoker region charges
0 19 female 27.900 0 yes southwest 16884.92400
1 18 male 33.770 1 no southeast 1725.55230
2 28 male 33.000 3 no southeast 4449.46200
3 33 male 22.705 0 no northwest 21984.47061
4 32 male 28.880 0 no northwest 3866.85520
NotaInterpretação

As primeiras linhas confirmam a granularidade: uma pessoa por registro. charges é uma despesa observada, não um preço causalmente determinado apenas pelas demais colunas.

2. O que é a base?

As principais colunas são:

coluna tipo significado
age numérica discreta idade em anos
sex categórica nominal sexo registrado
bmi numérica contínua índice de massa corporal em kg/m²
children numérica discreta dependentes cobertos
smoker categórica nominal tabagismo
region categórica nominal região dos Estados Unidos
charges numérica contínua despesas médicas cobradas em US$ 
print("Dimensão:", df.shape)
print("Ausências por coluna:")
print(df.isna().sum())
print("Linhas duplicadas:", df.duplicated().sum())
Dimensão: (1338, 7)
Ausências por coluna:
age         0
sex         0
bmi         0
children    0
smoker      0
region      0
charges     0
dtype: int64
Linhas duplicadas: 1
NotaInterpretação

Não há ausências, mas existe uma linha duplicada exata. Como não há identificador individual, não é possível concluir se ela é erro ou duas pessoas com os mesmos atributos. Mantê-la tem impacto desprezível; removê-la exigiria documentar essa decisão.

3. Análise descritiva

df.describe(percentiles=[.05, .25, .50, .75, .95]).round(2)
age bmi children charges
count 1338.00 1338.00 1338.00 1338.00
mean 39.21 30.66 1.09 13270.42
std 14.05 6.10 1.21 12110.01
min 18.00 15.96 0.00 1121.87
5% 18.00 21.26 0.00 1757.75
25% 27.00 26.30 0.00 4740.29
50% 39.00 30.40 1.00 9382.03
75% 51.00 34.69 2.00 16639.91
95% 62.00 41.11 3.00 41181.83
max 64.00 53.13 5.00 63770.43 
df.groupby("smoker").agg(
    pessoas=("charges", "size"),
    idade_média=("age", "mean"),
    imc_médio=("bmi", "mean"),
    despesa_média=("charges", "mean"),
    despesa_mediana=("charges", "median"),
).round(2)
pessoas idade_média imc_médio despesa_média despesa_mediana
smoker
no 1064 39.39 30.65 8434.27 7345.41
yes 274 38.51 30.71 32050.23 34456.35

Distribuições de idade, IMC, despesas e tabagismo.

NotaInterpretação

As despesas apresentam forte assimetria à direita e diferem substancialmente entre fumantes e não fumantes. Isso antecipa duas precauções: Pearson pode ser sensível aos maiores valores e uma correlação global pode misturar grupos com níveis e relações distintos.

4. Comece pelo gráfico de dispersão

sns.scatterplot(data=df, x="age", y="charges", hue="smoker", alpha=.6)
plt.xlabel("Idade (anos)")
plt.ylabel("Despesas médicas (US$)")
plt.show()

Idade e despesas separadas por tabagismo.

NotaInterpretação

A despesa tende a aumentar com a idade, porém o grupo de fumantes ocupa um patamar muito mais alto. Uma única reta para todos os pontos descreve apenas uma média entre mecanismos heterogêneos.

5. Da variância à covariância

Para uma amostra \(x_1,\ldots,x_n\), a variância amostral é

\[ s_X^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2. \]

Aqui, \(n\) é o número de observações, \(x_i\) é a observação \(i\), \(\bar x\) é a média amostral e \(x_i-\bar x\) é seu desvio. O denominador \(n-1\) aparece porque os desvios somam zero: depois de fixar \(n-1\) deles, o último está determinado.

Para duas variáveis, multiplicamos os desvios correspondentes:

\[ s_{XY}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y). \]

Os termos têm a seguinte leitura:

  • \(s_{XY}\): covariância amostral entre \(X\) e \(Y\);
  • \(x_i-\bar x\): desvio horizontal do ponto em relação à média de \(X\);
  • \(y_i-\bar y\): desvio da segunda variável;
  • produto positivo: os desvios têm o mesmo sinal;
  • produto negativo: os desvios têm sinais opostos.

Geometricamente, as retas \(x=\bar x\) e \(y=\bar y\) dividem a dispersão em quatro quadrantes:

posição do ponto \(x_i-\bar x\) \(y_i-\bar y\) contribuição
superior direito \(+\) \(+\) \(+\)
superior esquerdo \(-\) \(+\) \(-\)
inferior esquerdo \(-\) \(-\) \(+\)
inferior direito \(+\) \(-\) \(-\)

Desvios horizontal e vertical e sinais das contribuições à covariância nos quatro quadrantes.

Os quadrantes diagonais contribuem positivamente porque multiplicam desvios de mesmo sinal; os outros dois contribuem negativamente. A covariância é o saldo dessas contribuições, dividido por \(n-1\).

x = np.array([1., 2., 3.])
y = np.array([2., 1., 5.])
products = (x-x.mean())*(y-y.mean())
print("Produtos dos desvios:", products)
print("Soma:", products.sum())
print("Covariância amostral:", products.sum()/(len(x)-1))
Produtos dos desvios: [ 0.66666667 -0.          2.33333333]
Soma: 3.0
Covariância amostral: 1.5
NotaInterpretação

Os produtos positivos dominam e a covariância vale 1,5. O sinal é interpretável, mas a magnitude ainda depende das unidades de \(X\) e \(Y\).

6. Correlação de Pearson

Pearson normaliza a covariância pelos desvios-padrão:

\[ r_{XY}=\frac{s_{XY}}{s_Xs_Y} =\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sqrt{\sum_i(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum_i(y_i-\bar y)^2}}. \]

O numerador mede variação conjunta. Os dois fatores no denominador medem o comprimento dos vetores centrados e retiram as unidades. Por isso \(r\) é adimensional.

def pearson_manual(x, y):
    xc = np.asarray(x)-np.mean(x)
    yc = np.asarray(y)-np.mean(y)
    return np.sum(xc*yc)/np.sqrt(np.sum(xc**2)*np.sum(yc**2))

print("Manual:", pearson_manual(x, y))
print("NumPy: ", np.corrcoef(x, y)[0, 1])
Manual: 0.720576692122892
NumPy:  0.7205766921228921

6.1 Por que Pearson está entre -1 e 1?

Com \(\mathbf{x}_c=(x_1-\bar x,\ldots,x_n-\bar x)\) e definição análoga para \(\mathbf{y}_c\):

\[ r=\frac{\mathbf{x}_c^\top\mathbf{y}_c} {\|\mathbf{x}_c\|\,\|\mathbf{y}_c\|}. \]

A desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma

\[ |\mathbf{x}_c^\top\mathbf{y}_c| \leq\|\mathbf{x}_c\|\,\|\mathbf{y}_c\|. \]

Dividindo ambos os lados pelo produto positivo das normas, obtemos \(|r|\leq1\). Geometricamente, \(r\) é o cosseno do ângulo entre os vetores centrados.

6.2 Pearson como média de produtos padronizados

Defina

\[ z_{xi}=\frac{x_i-\bar x}{s_X},\qquad z_{yi}=\frac{y_i-\bar y}{s_Y}. \]

Então

\[ r=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n z_{xi}z_{yi}. \]

Cada parcela mede se a observação está simultaneamente acima ou abaixo das duas médias, agora em unidades comparáveis de desvio-padrão.

7. Pearson na base de seguros

numeric = df[["age", "bmi", "children", "charges"]]
numeric.corr().round(3)
age bmi children charges
age 1.000 0.109 0.042 0.299
bmi 0.109 1.000 0.013 0.198
children 0.042 0.013 1.000 0.068
charges 0.299 0.198 0.068 1.000 
r_age = pearsonr(df["age"], df["charges"])
print(f"Pearson idade-despesas: r={r_age.statistic:.3f}")
Pearson idade-despesas: r=0.299

Matriz de correlações numéricas.

NotaInterpretação

Idade e despesas têm associação linear positiva, mas modesta (\(r\approx0,30\)). O coeficiente não diz que envelhecer causa sozinho o aumento observado, nem controla tabagismo, IMC ou acesso aos serviços de saúde.

8. Pearson pode perder relações não lineares

rng = np.random.default_rng(1616)
x_curve = np.linspace(-3, 3, 250)
y_curve = x_curve**2 + rng.normal(0, .45, len(x_curve))
print("Pearson:", pearsonr(x_curve, y_curve)[0])
sns.scatterplot(x=x_curve, y=y_curve)
plt.show()
Pearson: -0.005529838251752895

Relação parabólica com Pearson próximo de zero.

NotaInterpretação

A relação é forte e previsível, mas não linear: o crescimento no braço direito é compensado pela queda no braço esquerdo. Pearson próximo de zero significa ausência de componente linear média, não ausência de dependência.

9. Correlação de Spearman

Spearman aplica Pearson aos postos:

\[ r_S=\operatorname{cor}(R_X,R_Y), \]

em que \(R_X\) e \(R_Y\) são os vetores de postos das observações. Um posto é a posição ocupada por um valor depois que a variável é ordenada do menor para o maior. Portanto, se \(R_i=\operatorname{rank}(x_i)\) e \(S_i=\operatorname{rank}(y_i)\), Spearman é a correlação de Pearson entre \((R_1,\ldots,R_n)\) e \((S_1,\ldots,S_n)\).

Ele mede associação monotônica e não exige que a variação siga uma reta.

9.1 Exemplo didático sem empates

Considere quatro pares:

pessoa \(i\) \(x_i\) \(R_i\) \(y_i\) \(S_i\) \(d_i=R_i-S_i\) \(d_i^2\)
1 10 1 12 2 −1 1
2 20 2 8 1 1 1
3 30 3 15 3 0 0
4 40 4 20 4 0 0

Os postos de \(X\) são \((1,2,3,4)\). Para \(Y\), o menor valor é 8, seguido por 12, 15 e 20; seus postos na ordem original são \((2,1,3,4)\). Definindo \(d_i=R_i-S_i\), obtemos \(\sum_i d_i^2=2\).

Sem empates, a correlação de Spearman também pode ser escrita como

\[ r_S=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}. \]

Nessa expressão, \(n\) é o número de pares, \(d_i\) é a diferença entre os dois postos da observação \(i\) e \(\sum_i d_i^2\) mede o desacordo total entre as duas ordenações. Para o exemplo:

\[ r_S=1-\frac{6\cdot2}{4(4^2-1)} =1-\frac{12}{60}=0{,}80. \]

x_example = np.array([10, 20, 30, 40])
y_example = np.array([12, 8, 15, 20])
ranks_x = pd.Series(x_example).rank(method="average")
ranks_y = pd.Series(y_example).rank(method="average")

example = pd.DataFrame({
    "x": x_example,
    "R": ranks_x,
    "y": y_example,
    "S": ranks_y,
})
example["d"] = example["R"]-example["S"]
example["d²"] = example["d"]**2
print(example)
print("Spearman pela fórmula:", 1-6*example["d²"].sum()/(4*(4**2-1)))
print("Spearman pelo SciPy:", spearmanr(x_example, y_example)[0])
    x    R   y    S    d   d²
0  10  1.0  12  2.0 -1.0  1.0
1  20  2.0   8  1.0  1.0  1.0
2  30  3.0  15  3.0  0.0  0.0
3  40  4.0  20  4.0  0.0  0.0
Spearman pela fórmula: 0.8
Spearman pelo SciPy: 0.7999999999999999
NotaInterpretação

O valor 0,80 é alto porque as ordenações quase coincidem. A única discordância é a inversão entre as duas primeiras pessoas; se todos os postos fossem iguais, \(\sum_i d_i^2=0\) e \(r_S=1\).

9.2 Empates recebem postos médios

Quando há empates, cada observação recebe o posto médio das posições que ocuparia. Por exemplo, \((18,18,19,21)\) recebe postos \((1{,}5,1{,}5,3,4)\).

Nesse caso, a forma segura é calcular \(r_S=\operatorname{cor}(R_X,R_Y)\) diretamente. A fórmula abreviada baseada em \(\sum_i d_i^2\) pressupõe ausência de empates; sem a correção apropriada, ela não deve ser usada.

pearson_age = pearsonr(df.age, df.charges)[0]
spearman_age = spearmanr(df.age, df.charges)[0]
print(f"Pearson:  {pearson_age:.3f}")
print(f"Spearman: {spearman_age:.3f}")
Pearson:  0.299
Spearman: 0.534

Comparação entre valores e postos.

NotaInterpretação

Spearman é maior porque a ordenação das despesas acompanha a idade melhor do que uma reta acompanha os valores em dólares. Isso não torna Spearman automaticamente superior: a escolha depende da pergunta sobre linearidade ou monotonicidade.

10. Sensibilidade a pontos influentes

base = df.loc[df.smoker.eq("no"), ["bmi", "charges"]].sample(
    110, random_state=17
)
extra = pd.DataFrame({"bmi": [54], "charges": [63000]})
print("Sem ponto:", base.corr().iloc[0, 1])
print("Com ponto:", pd.concat([base, extra]).corr().iloc[0, 1])
Sem ponto: 0.09407093755963403
Com ponto: 0.3082797195453476

Efeito de um ponto influente na correlação.

NotaInterpretação

O ponto acrescentado está distante nas duas coordenadas e cria um produto de desvios muito grande. Pontos assim merecem investigação, mas não devem ser removidos apenas porque mudam a conclusão.

11. Restrição de amplitude

full_r = df.age.corr(df.charges)
restricted = df[df.age.between(35, 45)]
restricted_r = restricted.age.corr(restricted.charges)
print(f"Faixa completa: {full_r:.3f}")
print(f"35–45 anos:    {restricted_r:.3f}")
Faixa completa: 0.299
35–45 anos:    0.107

Correlação na amostra completa e em faixa etária restrita.

NotaInterpretação

Dentro da faixa estreita há menos variação em idade. O valor de \(r\) descreve a população e o intervalo observados; ele não é uma constante universal que pode ser transportada sem considerar o desenho amostral.

12. Correlação marginal e condicional

print("Global BMI-despesas:", df.bmi.corr(df.charges))
conditional = df.groupby("smoker").apply(
    lambda g: g.bmi.corr(g.charges)
)
conditional
Global BMI-despesas: 0.1983409688336289
smoker
no     0.084037
yes    0.806481
dtype: float64

Correlação entre IMC e despesas dentro dos grupos de tabagismo.

NotaInterpretação

A correlação global é 0,20, mas vale aproximadamente 0,08 entre não fumantes e 0,81 entre fumantes. A associação do IMC com despesas depende fortemente do estrato; a média marginal esconde essa heterogeneidade.

12.1 Simpson, confundimento e condicionamento

O paradoxo de Simpson ocorre quando associações dentro dos estratos têm uma direção, mas a associação agregada tem direção oposta. Ele é uma forma extrema de mistura por composição dos grupos.

Considere um exemplo didático simulado com duas disciplinas. Na disciplina introdutória, os estudantes tendem a estudar menos e a prova é mais simples. Na disciplina avançada, eles tendem a estudar mais e a prova é mais difícil. Dentro de cada disciplina, mais horas de estudo acompanham notas maiores.

sim_rng = np.random.default_rng(1616)
n_simpson = 400

x_intro = np.clip(sim_rng.normal(4.0, 2.3, n_simpson), 0, 14)
y_intro = 74 + .8*(x_intro-4.0) + sim_rng.normal(0, 5, n_simpson)
x_advanced = np.clip(sim_rng.normal(8.0, 2.3, n_simpson), 0, 14)
y_advanced = 66 + .8*(x_advanced-8.0) + sim_rng.normal(0, 5, n_simpson)

simpson = pd.DataFrame({
    "horas": np.r_[x_intro, x_advanced],
    "nota": np.r_[y_intro, y_advanced],
    "disciplina": ["Introdutória"]*n_simpson + ["Avançada"]*n_simpson,
})

print(f"Correlação agregada: {simpson.horas.corr(simpson.nota):.2f}")
print(
    simpson.groupby("disciplina")[["horas", "nota"]].apply(
        lambda group: group.horas.corr(group.nota),
    ).round(2)
)
Correlação agregada: -0.14
disciplina
Avançada        0.38
Introdutória    0.40
dtype: float64

Antes de condicionar

Dados simulados de horas de estudo e nota agregados, com correlação negativa.

NotaInterpretação

Ao misturar as disciplinas, a correlação vale aproximadamente \(-0{,}14\). Essa comparação combina o efeito da composição dos grupos com a associação existente dentro de cada disciplina.

Depois de condicionar pela disciplina

Todos os dados simulados no mesmo gráfico, coloridos por disciplina e com uma reta positiva para cada grupo.

NotaInterpretação

As correlações condicionais valem aproximadamente \(0{,}40\) na disciplina introdutória e \(0{,}38\) na avançada. A relação positiva dentro dos dois grupos se torna negativa quando eles são agregados. Não há contradição: a correlação marginal e as correlações condicionais respondem a comparações diferentes.

Marginal, condicional e parcial no mesmo exemplo

A correlação marginal usa todos os estudantes sem considerar a disciplina: \(r=-0{,}14\). As correlações condicionais são calculadas separadamente dentro dos estratos: \(0{,}40\) na introdutória e \(0{,}38\) na avançada.

A correlação parcial segue outra lógica. Primeiro retiramos de horas e de nota as diferenças lineares explicadas pela disciplina. Depois calculamos a correlação entre os dois conjuntos de resíduos. Aqui, \(D_i=1\) identifica a disciplina avançada e \(D_i=0\) identifica a introdutória:

\[ \begin{aligned} e_{Xi} &= X_i-(\widehat a_X+\widehat b_XD_i),\\ e_{Yi} &= Y_i-(\widehat a_Y+\widehat b_YD_i),\\ r_{XY\cdot D} &= \operatorname{cor}(e_X,e_Y). \end{aligned} \]

disciplina_avancada = simpson.disciplina.eq("Avançada").astype(int).to_numpy()
matriz_ajuste = np.column_stack([
    np.ones(len(simpson)),
    disciplina_avancada,
])

beta_horas = np.linalg.lstsq(matriz_ajuste, simpson.horas, rcond=None)[0]
beta_nota = np.linalg.lstsq(matriz_ajuste, simpson.nota, rcond=None)[0]

residuo_horas = simpson.horas - matriz_ajuste @ beta_horas
residuo_nota = simpson.nota - matriz_ajuste @ beta_nota
r_parcial = residuo_horas.corr(residuo_nota)
print(f"Correlação parcial controlando disciplina: {r_parcial:.2f}")
Correlação parcial controlando disciplina: 0.39
NotaInterpretação

A correlação parcial vale aproximadamente \(0{,}39\), próxima das duas correlações condicionais. Isso ocorre porque o ajuste remove a diferença média entre as disciplinas antes de medir a associação linear restante. O ajuste não transforma automaticamente a associação em efeito causal.

Condicionar não é um procedimento mecânico. Uma variável \(Z\) pode ser:

  • confundidora, por influenciar \(X\) e \(Y\);
  • mediadora, por estar no caminho de \(X\) para \(Y\);
  • colisora, por ser consequência de \(X\) e \(Y\).

Controlar confundidores pode reduzir viés; controlar mediadores ou colisores pode mudar a pergunta ou criar viés. O conhecimento causal orienta a escolha.

13. Incerteza da correlação

Na população, a correlação é \(\rho\); na amostra, calculamos \(r\). Para obter um intervalo bootstrap, reamostramos linhas completas, preservando cada par \((x_i,y_i)\).

B = 4000
values = df[["age", "charges"]].to_numpy()
boot = np.empty(B)
for b in range(B):
    draw = values[rng.integers(0, len(values), len(values))]
    boot[b] = np.corrcoef(draw[:, 0], draw[:, 1])[0, 1]

ci = np.quantile(boot, [.025, .975])
print(f"IC bootstrap 95%: [{ci[0]:.3f}; {ci[1]:.3f}]")
IC bootstrap 95%: [0.249; 0.348]

Distribuição bootstrap da correlação.

NotaInterpretação

O intervalo de aproximadamente \([0,25;0,35]\) descreve a incerteza amostral sob uma reamostragem i.i.d. das pessoas observadas. Ele não incorpora viés de seleção, erro de medição ou dependência não modelada.

13.1 Testar \(H_0:\rho=0\)

Sob normalidade bivariada, a transformação de Fisher

\[ Z=\operatorname{arctanh}(r) =\frac12\log\left(\frac{1+r}{1-r}\right) \]

é aproximadamente normal, com erro-padrão \(1/\sqrt{n-3}\). Aqui, \(Z\) é a correlação transformada, \(r\) é a correlação amostral e \(n\) é o tamanho da amostra.

Uma alternativa é permutar uma variável em relação à outra para representar ausência de associação, desde que a hipótese de trocabilidade seja justificável. Rejeitar \(H_0:\rho=0\) não demonstra independência nem causalidade.

14. Correlação não é causalidade

Uma correlação entre \(X\) e \(Y\) é compatível com:

\[ X\to Y,\qquad Y\to X,\qquad Z\to X\text{ e }Z\to Y, \]

além de seleção, tendências comuns e acaso. A base de seguros é observacional; portanto, não identifica o efeito causal de fumar, envelhecer ou alterar o IMC.

Também evite a falácia ecológica: uma correlação entre médias de estados ou países não implica a mesma relação entre indivíduos.

15. Guia de decisão

Use Pearson quando a pergunta é sobre associação linear e o gráfico não revela curvatura ou influência extrema dominante.

Use Spearman quando a pergunta é sobre ordenação monotônica, a escala é ordinal ou uma transformação monotônica é plausível.

Em ambos os casos:

  1. descreva a base e a unidade observacional;
  2. visualize os dados;
  3. investigue grupos e pontos influentes;
  4. reporte coeficiente e incerteza;
  5. limite a conclusão à população e ao desenho;
  6. não use linguagem causal sem identificação causal.

16. Questões de revisão

  1. Observe a figura quiz-correlacoes.png dos slides e ordene as quatro nuvens por sinal e magnitude de Pearson antes de calcular.
  2. Por que dividir a covariância por \(s_Xs_Y\) remove as unidades?
  3. Construa dois vetores dependentes com Pearson zero.
  4. Na relação monotônica curva do quiz, por que Spearman é maior que Pearson?
  5. Explique por que reamostrar age e charges separadamente seria errado no bootstrap.
  6. Por que a correlação IMC-despesas muda ao separar fumantes?
  7. Que informação a matriz de correlação não mostra?
  8. Refaça a análise usando children e explique por que o coeficiente é pequeno.

Bibliografia

Para uma primeira leitura, use Introduction to Modern Statistics e o material de Computational and Inferential Thinking. ISLR conecta correlação à regressão; Freedman aprofunda interpretação e riscos em estudos observacionais.

Fonte dos dados: Kaggle, mosapabdelghany/medical-insurance-cost-dataset, licença CC0.