Teorema Central do Limite

Aula 10 — Módulo 2: Inferência Estatística

Heitor Ramos
heitor@dcc.ufmg.br

Teorema Central do Limite

Como transformar a variabilidade entre amostras em uma margem de erro?

Exemplo da aula: tempo de entrega de pedidos do e-commerce brasileiro Olist.

Hoje

• distribuição amostral da média;
• Teorema Central do Limite;
• padronização e estatística z;
• erro padrão;
• intervalo e nível de confiança;
• cobertura, largura e tamanho amostral.

O problema da aula

Quanto tempo um pedido leva para chegar — e quão precisa é nossa estimativa?

Não basta reportar uma média. Precisamos comunicar sua incerteza.

Olist: e-commerce brasileiro

• cerca de 100 mil pedidos entre 2016 e 2018;
• dados comerciais reais e anonimizados;
• compra, aprovação, envio e entrega;
• data prometida e data efetiva;
• múltiplos marketplaces no Brasil.

path = kagglehub.dataset_download("olistbr/brazilian-ecommerce")

Cada linha acompanha um pedido

Coluna	Significado
order_purchase_timestamp	instante da compra
order_delivered_customer_date	entrega efetiva
order_estimated_delivery_date	entrega prometida
order_status	situação do pedido

A unidade de observação é um pedido. A partir das datas, calculamos tempo de entrega e indicador de atraso.

Nossa população didática

Após remover pedidos sem datas completas:

Medida	Valor
Pedidos	96.476
Tempo médio	12,56 dias
Desvio padrão	9,55 dias
Entregas atrasadas	8,11%

Trataremos esses pedidos como uma população conhecida para validar os métodos.

A distribuição não parece Normal

Há uma cauda longa: poucos pedidos demoram muito mais que o típico.

plt.figure(figsize=(9, 5.2))
sns.histplot(delivery, bins=np.arange(0, 61, 2), color=BLUE)
plt.axvline(mu, color=ORANGE, lw=3, label=f"média = {mu:.1f} dias")
plt.xlim(0, 60)
plt.xlabel("Tempo entre compra e entrega (dias)")
plt.ylabel("Pedidos")
plt.title("O tempo de entrega é assimétrico à direita")
plt.legend()
finish("populacao-entrega.png")

Uma amostra é imperfeita

Duas amostras da mesma população produzem histogramas, médias e estimativas da densidade diferentes. Com apenas 30 observações, a variabilidade amostral fica fácil de perceber.

sample_a = rng.choice(delivery, size=30, replace=False)
sample_b = rng.choice(delivery, size=30, replace=False)
bins = np.arange(0, 61, 5)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.8), sharex=True, sharey=True)
for ax, sample, label, color in [
    (axes[0], sample_a, "Amostra A", BLUE),
    (axes[1], sample_b, "Amostra B", ORANGE),
]:
    sns.histplot(sample, bins=bins, stat="density", color=color, alpha=.48, ax=ax)
    sns.kdeplot(
        sample, color=color, lw=3, cut=0, clip=(0, 60),
        label=r"KDE: $\hat f_h(x)$", ax=ax,
    )
    ax.axvline(mu, color=INK, lw=2, ls="--", label=f"μ = {mu:.1f}")
    ax.axvline(sample.mean(), color=color, lw=3, label=f"x̄ = {sample.mean():.1f}")
    ax.set_xlim(0, 60)
    ax.set_xlabel("Tempo de entrega (dias)")
    ax.set_title(f"{label}: n = 30")
    ax.legend()
axes[0].set_ylabel("Densidade")
axes[1].set_ylabel("")
finish("amostra-entrega.png")

Parâmetro, estimador e estimativa

Objeto	Exemplo
Parâmetro	média populacional \(\mu=12{,}56\)
Estimador	\(\bar{X}=n^{-1}\sum X_i\)
Estimativa	valor de \(\bar{x}\) obtido na amostra

O parâmetro é fixo; o estimador varia com a amostra.

Repetir a coleta revela a incerteza

Imagine retirar muitas amostras de mesmo tamanho:

\[ \bar{x}_1,\ \bar{x}_2,\ \ldots,\ \bar{x}_R \]

A distribuição desses valores é a distribuição amostral da média.

A distribuição amostral tem outro formato

Ela responde perguntas sobre o estimador, não sobre pedidos individuais:

• onde as médias amostrais se concentram?
• quanto variam entre amostras?
• qual formato descreve essa variação?
• quão provável é uma estimativa distante de \(\mu\)?

O erro padrão mede a oscilação

Se \(X_1,\ldots,X_n\) são independentes, com \(E[X_i]=\mu\) e \(\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty\):

\[ \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n} \]

\[ \operatorname{SE}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

\(\bar X=n^{-1}\sum_iX_i\) é a média amostral; \(n\) é o tamanho da amostra; \(\sigma\) é o desvio padrão populacional. O erro padrão é o desvio padrão da distribuição amostral de \(\bar X\).

Aumentar n concentra as médias

O centro permanece em \(\mu\); a dispersão diminui.

means_10 = sample_means(delivery, 10)
means_50 = sample_means(delivery, 50)
means_200 = sample_means(delivery, 200)
plt.figure(figsize=(9, 5.2))
for vals, label, color in [(means_10, "n = 10", ORANGE), (means_50, "n = 50", BLUE), (means_200, "n = 200", PURPLE)]:
    sns.kdeplot(vals, lw=3, color=color, label=label)
plt.axvline(mu, color=INK, lw=2, ls="--", label="μ")
plt.xlabel("Média amostral do tempo de entrega (dias)")
plt.ylabel("Densidade")
plt.title("Aumentar n concentra a distribuição amostral")
plt.legend()
finish("tcl-tamanhos.png")

LGN e TCL respondem perguntas diferentes

Lei dos Grandes Números

\[{\bar X}_n \xrightarrow{P} \mu\]

Pergunta: para onde a média amostral vai?

Resposta: \(\bar X_n\) se aproxima de \(\mu\) quando \(n\) cresce.

Não informa: o formato aproximado da distribuição de \(\bar X_n\).

Teorema Central do Limite

\[\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)\]

Pergunta: como \(\bar X_n\) oscila ao redor de \(\mu\)?

Resposta: descreve o formato aproximadamente Normal e a escala \(\sigma/\sqrt n\).

Não afirma: que os dados originais sejam Normais.

LGN fala de convergência ao alvo; TCL, da distribuição do erro.

LGN ou TCL?

Qual afirmação descreve corretamente o Teorema Central do Limite?

• A média amostral se aproxima de \(\mu\), sem informar o formato de sua distribuição
• O erro padronizado da média se aproxima de uma Normal padrão
• Os dados individuais tornam-se Normais quando \(n\) cresce
• A independência e a variância finita são irrelevantes

O Teorema Central do Limite

Sob condições usuais, quando \(n\) é suficientemente grande:

\[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d}N(0,1) \]

Equivalentemente:

\[ \bar{X}\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \]

\(\xrightarrow{d}\) significa convergência em distribuição; \(N(0,1)\) é a Normal padrão. A aproximação afirma que \(\bar X\) tem centro \(\mu\) e variância aproximada \(\sigma^2/n\) — não que cada \(X_i\) seja Normal.

Independência é uma condição central

O TCL clássico pressupõe observações independentes ou fracamente dependentes.

Pode falhar quando:

• medimos repetidamente o mesmo indivíduo;
• eventos vizinhos influenciam uns aos outros;
• séries temporais têm forte autocorrelação;
• a coleta agrupa unidades muito semelhantes.

A amostra deve representar a população

O TCL descreve variabilidade aleatória dentro do mecanismo assumido.

Ele não corrige:

• viés de seleção;
• grupos ausentes;
• erros sistemáticos de medição;
• mudanças da população ao longo do tempo.

Amostragem sem reposição exige cuidado

Quando amostramos grande parte de uma população finita:

\[ \operatorname{SE}(\bar{X}) =\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \]

Se \(n/N<10\%\), a correção costuma ser pequena.

Condições usuais para aplicar o TCL

Para a média amostral na versão clássica:

Amostragem adequada

O mecanismo de coleta deve sustentar a inferência para a população de interesse.

Independência

As observações devem ser independentes ou ter dependência suficientemente fraca.

Variância finita

Precisamos de \(E[X_i]=\mu\) e \(0<\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty\).

Tamanho suficiente

Assimetria, caudas pesadas e outliers exigem amostras maiores. Não existe um \(n=30\) universal.

Sem reposição, \(n/N<10\%\) permite tratar a dependência como pequena. Para frações maiores, usamos a correção para população finita.

O formato inicial pode ser muito diferente

O TCL atua sobre as médias, não transforma os dados originais.

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(12, 7.2))
populations = [
    (rng.uniform(0, 1, 40000), "Uniforme"),
    (rng.exponential(1, 40000), "Assimétrica"),
    (np.r_[rng.normal(-2, .6, 20000), rng.normal(2, .6, 20000)], "Bimodal"),
]
for col, (pop, title) in enumerate(populations):
    sns.histplot(pop, bins=35, color=ORANGE, ax=axes[0, col])
    axes[0, col].set_title(title)
    axes[0, col].set_ylabel("População" if col == 0 else "")
    means = sample_means(pop, 40, 4000)
    sns.histplot(means, bins=30, color=BLUE, ax=axes[1, col])
    axes[1, col].set_ylabel("Médias, n = 40" if col == 0 else "")
fig.suptitle("Populações diferentes, médias aproximadamente normais", fontweight="bold")
finish("tcl-tres-populacoes.png")

Assimetria exige amostras maiores

Não existe um número mágico universal como \(n=30\).

O tamanho adequado depende de:

• assimetria e caudas;
• presença de outliers;
• dependência entre observações;
• estatística utilizada;
• precisão desejada.

Uma amostra pequena pode esconder a cauda

A aparência de uma única amostra não garante que a população seja simétrica. Com \(n=20\), valores raros podem não aparecer; com \(n=100\), a amostra tem mais oportunidade de revelar a cauda.

sigma_log = 1.15
x = np.linspace(0.03, 25, 1200)
population_pdf = (
    np.exp(-(np.log(x) ** 2) / (2 * sigma_log**2))
    / (x * sigma_log * np.sqrt(2 * np.pi))
)

rng_shape = np.random.default_rng(20260228)
small_sample = rng_shape.lognormal(mean=0, sigma=sigma_log, size=20)
larger_sample = rng_shape.lognormal(mean=0, sigma=sigma_log, size=100)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(14.2, 4.8))
axes[0].plot(x, population_pdf, color=BLUE, lw=3)
axes[0].fill_between(x, population_pdf, color=BLUE, alpha=.22)
axes[0].set(xlim=(0, 25), title="População com cauda pesada")

sns.histplot(small_sample, bins=np.linspace(0, 3, 7), stat="density",
             color=ORANGE, alpha=.62, ax=axes[1])
sns.kdeplot(small_sample, color=ORANGE, lw=3, cut=0, clip=(0, 3), ax=axes[1])
axes[1].set(xlim=(0, 3), title="Uma amostra de n = 20")

sns.histplot(larger_sample, bins=np.linspace(0, 15, 11), stat="density",
             color=PURPLE, alpha=.58, ax=axes[2])
sns.kdeplot(larger_sample, color=PURPLE, lw=3, cut=0, clip=(0, 15), ax=axes[2])
axes[2].set(xlim=(0, 15), title="Outra amostra: n = 100")

Padronizar remove unidade e escala

\[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \]

\(Z\) mede quantos erros padrão a média amostral está distante de \(\mu\).

Valores próximos de zero são comuns; valores extremos são raros.

A Normal padrão vira referência

Área sob a curva representa a proporção esperada de observações.

x = np.linspace(-3.7, 3.7, 1200)
densidade = np.exp(-x**2 / 2) / np.sqrt(2 * np.pi)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10.5, 5.4))
ax.plot(x, densidade, color="#17324d", lw=3)

faixas = [
    (-3, -2, "#6a4c93", "2,1%"),
    (-2, -1, "#d95f02", "13,6%"),
    (-1,  0, "#0f6b78", "34,1%"),
    ( 0,  1, "#0f6b78", "34,1%"),
    ( 1,  2, "#d95f02", "13,6%"),
    ( 2,  3, "#6a4c93", "2,1%"),
]

for inicio, fim, cor, rotulo in faixas:
    trecho = (x >= inicio) & (x <= fim)
    ax.fill_between(x[trecho], 0, densidade[trecho], color=cor, alpha=.82)

A simulação acompanha a Normal

A unidade “dias” desaparece após a padronização.

z_means = (means_50 - mu) / (sigma / np.sqrt(50))
x = np.linspace(-4, 4, 400)
normal_pdf = np.exp(-x**2 / 2) / np.sqrt(2 * np.pi)
plt.figure(figsize=(9, 5.2))
sns.histplot(z_means, bins=35, stat="density", color=BLUE, alpha=.6, label="simulação")
plt.plot(x, normal_pdf, color=ORANGE, lw=3, label="Normal padrão")
plt.xlabel("z = (x̄ − μ) / (σ/√n)")
plt.ylabel("Densidade")
plt.title("Padronizar revela a Normal padrão")
plt.legend()
finish("padronizacao-tcl.png")

A fórmula do erro padrão funciona

O padrão simulado coincide com \(\sigma/\sqrt{n}\).

ns = np.array([10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000])
se_emp = np.array([sample_means(delivery, int(n), 1800).std(ddof=1) for n in ns])
se_theory = sigma / np.sqrt(ns)
plt.figure(figsize=(9, 5.2))
plt.plot(ns, se_emp, "o-", color=ORANGE, lw=3, label="simulado")
plt.plot(ns, se_theory, "--", color=BLUE, lw=3, label="σ/√n")
plt.xscale("log")
plt.xlabel("Tamanho da amostra (escala log)")
plt.ylabel("Erro padrão (dias)")
plt.title("O erro padrão cai com a raiz de n")
plt.legend()
finish("erro-padrao-entrega.png")

Pino ou região de confiança?

Em repetições, 95% das regiões construídas pelo procedimento contêm a localização verdadeira.

Do TCL para uma faixa plausível

Se aproximadamente 95% das médias satisfazem:

\[ -1{,}96<\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<1{,}96 \]

como \(\sigma/\sqrt{n}>0\), multiplicamos os três termos pelo erro padrão:

\[ -1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt n}<\bar X-\mu <1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt n}. \]

Subtraímos \(\bar X\), multiplicamos por \(-1\) e invertemos as desigualdades:

\[ \bar X+1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt n}>\mu> \bar X-1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt n}. \]

Em ordem crescente:

\[ \boxed{\bar X-1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt n}<\mu< \bar X+1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt n}} \]

Estimativa pontual não mostra precisão

Uma média amostral de 12,6 dias pode vir de:

• uma amostra pequena e instável;
• uma amostra grande e precisa;
• dados independentes;
• observações fortemente agrupadas.

O mesmo número pode carregar incertezas muito diferentes.

Estimamos o erro padrão

Como \(\sigma\) normalmente é desconhecido, usamos o desvio padrão amostral \(s\):

\[ \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{X})=\frac{s}{\sqrt{n}} \]

Para amostras pequenas, a distribuição t substitui a Normal.

Valor crítico define a cobertura

Para um intervalo bilateral:

Confiança	Valor crítico Normal
80%	1,282
90%	1,645
95%	1,960
99%	2,576

Mais confiança exige alcançar uma área maior da distribuição.

Uma previsão infalível

Intervalo de confiança para a média

Uma aproximação de 95% é:

\[ \bar{x}\ \pm\ 1{,}96\frac{s}{\sqrt{n}} \]

ou:

\[ [\bar{x}-1{,}96\operatorname{SE},\ \bar{x}+1{,}96\operatorname{SE}] \]

\(\bar x\) é a média observada, \(s\) estima \(\sigma\), \(s/\sqrt n\) estima o erro padrão e \(1{,}96\) é o quantil \(0{,}975\) da Normal padrão. A forma geral é estimativa \(\pm\) valor crítico \(\times\) erro padrão.

Um intervalo com n = 100

Esta amostra produziu um intervalo de aproximadamente 10,8 a 14,4 dias.

n_ci = 100
sample_ci = rng.choice(delivery, n_ci, replace=False)
mean_ci = sample_ci.mean()
se_ci = sample_ci.std(ddof=1) / np.sqrt(n_ci)
lo, hi = mean_ci - 1.96 * se_ci, mean_ci + 1.96 * se_ci
plt.figure(figsize=(9, 3.8))
plt.errorbar(mean_ci, 0, xerr=1.96 * se_ci, fmt="o", color=BLUE, capsize=10, lw=4, ms=10)
plt.axvline(mu, color=ORANGE, lw=3, ls="--", label=f"μ = {mu:.1f}")
plt.yticks([])
plt.xlabel("Tempo médio de entrega (dias)")
plt.title(f"IC 95%: {lo:.1f} a {hi:.1f} dias")
plt.legend()
finish("intervalo-exemplo.png")

O que significa 95% de confiança?

Qual interpretação frequentista está correta?

• Há 95% de probabilidade de \(\mu\) estar no intervalo já calculado
• Em repetições, cerca de 95% dos intervalos construídos pelo procedimento cobrem \(\mu\)
• 95% dos dados individuais ficam dentro do intervalo
• A confiança garante ausência de viés de seleção

O parâmetro não é aleatório

Depois de calcular o intervalo, \(\mu\) está ou não está dentro dele.

Evite dizer:

Há 95% de probabilidade de \(\mu\) estar neste intervalo.

Na interpretação frequentista, a aleatoriedade está no procedimento.

Confiança descreve repetição

Se repetíssemos a amostragem muitas vezes, cerca de 95% dos intervalos construídos pelo mesmo método cobririam \(\mu\).

Não esperamos que todos cubram o parâmetro.

Alguns intervalos falham

Os intervalos laranja são erros esperados do procedimento.

intervals = []
for _ in range(100):
    s = rng.choice(delivery, n_ci, replace=True)
    m = s.mean()
    se = s.std(ddof=1) / np.sqrt(n_ci)
    intervals.append((m - 1.96 * se, m + 1.96 * se, m))
plt.figure(figsize=(9, 7))
for i, (lo_i, hi_i, m_i) in enumerate(intervals):
    covered = lo_i <= mu <= hi_i
    color = BLUE if covered else ORANGE
    plt.plot([lo_i, hi_i], [i, i], color=color, lw=1.7)
    plt.scatter(m_i, i, color=color, s=10)
plt.axvline(mu, color=INK, lw=2.5)
plt.xlabel("Tempo médio de entrega (dias)")
plt.ylabel("Amostras repetidas")
plt.title("95% é uma propriedade do procedimento")
finish("cobertura-intervalos.png")

Mais confiança produz mais largura

Não ganhamos cobertura gratuitamente.

levels = np.array([0.80, 0.90, 0.95, 0.99])
z_values = np.array([1.282, 1.645, 1.960, 2.576])
widths = 2 * z_values * sigma / np.sqrt(100)
plt.figure(figsize=(8.5, 5.2))
plt.bar(["80%", "90%", "95%", "99%"], widths, color=[LIGHT, BLUE, PURPLE, ORANGE])
plt.ylabel("Largura esperada do intervalo (dias)")
plt.xlabel("Nível de confiança")
plt.title("Mais confiança exige um intervalo mais largo")
finish("confianca-largura.png")

Margem de erro

Para 95% de confiança:

\[ ME=1{,}96\frac{s}{\sqrt{n}} \]

Ela diminui quando:

• \(n\) aumenta;
• a variabilidade dos dados diminui;
• aceitamos menor nível de confiança.

Planejar a amostra pela precisão

Dobrar a precisão exige aproximadamente quadruplicar \(n\).

need_half_day = (1.96 * sigma / .5) ** 2
ns_margin = np.linspace(20, need_half_day, 300)
margin = 1.96 * sigma / np.sqrt(ns_margin)
plt.figure(figsize=(9, 5.2))
plt.plot(ns_margin, margin, color=BLUE, lw=3)
for target in [1.0, .5]:
    need = (1.96 * sigma / target) ** 2
    plt.hlines(target, xmin=0, xmax=need, color=ORANGE, lw=1.5, ls="--")
    plt.scatter(need, target, color=ORANGE, s=70)
plt.annotate(r"$n\approx 1400$", xy=(need_half_day, .5), xytext=(1120, .78),
             arrowprops={"arrowstyle": "->", "color": INK})
plt.xlim(0, 1450)
plt.xlabel("Tamanho da amostra")
plt.ylabel("Margem de erro 95% (dias)")
plt.title("Planejar n começa pela precisão desejada")
finish("margem-tamanho-ate-1400.png")

Fórmula para planejar n

Se desejamos margem máxima \(m\):

\[ n\approx\left(\frac{z^*\sigma}{m}\right)^2 \]

Na prática, usamos:

• estudo piloto para estimar \(\sigma\);
• valor conservador;
• dados históricos comparáveis.

A validade depende das suposições

Antes de reportar um intervalo, verifique:

• como a amostra foi selecionada;
• independência ou estrutura de grupos;
• tamanho e assimetria;
• outliers e erros de registro;
• estabilidade da população no período.

Bootstrap é uma alternativa útil

Quando a fórmula analítica é difícil:

1. reamostramos os dados com reposição;
2. calculamos a estatística em cada reamostra;
3. usamos a distribuição simulada;
4. extraímos percentis para formar uma faixa.

O bootstrap não corrige uma amostra enviesada.

Intervalo para uma proporção

Para uma proporção amostral \(\widehat{p}\):

\[ \widehat{\operatorname{SE}}(\widehat{p}) =\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \]

Aproximação Normal:

\[ \widehat{p}\pm1{,}96\widehat{\operatorname{SE}}(\widehat{p}) \]

Amostras Pareadas

Cada unidade fornece duas medidas relacionadas. Preservamos o par calculando uma única diferença:

\[ D_i=Y_i-X_i, \qquad \bar D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nD_i. \]

O intervalo para a diferença média \(\mu_D\) é

\[ \bar D\ \pm\ t^*_{n-1}\frac{s_D}{\sqrt n}. \]

Por que usamos \(t^*\)?

Como \(\sigma_D\) é desconhecido, usamos \(s_D\). Sob diferenças Normais, \(T=(\bar D-\mu_D)/(s_D/\sqrt n)\) segue \(t_{n-1}\), que tem caudas mais pesadas.

Quando \(t\) se aproxima da Normal?

À medida que \(n\) cresce, \(t_{n-1}\to N(0,1)\). Para \(n>30\), \(t^*\) já costuma ser próximo de \(z^*\); em 95%, \(t^*_{29}=2{,}045\) e \(z^*=1{,}96\).

As duas medidas do par podem ser dependentes; as diferenças \(D_1,\ldots,D_n\) devem ser independentes entre pares.

Exemplo numérico pareado

Cinco pedidos têm prazo estimado \(X_i\) e tempo efetivo \(Y_i\), em dias. Definimos \(D_i=Y_i-X_i\).

Pedido	\(X_i\)	\(Y_i\)	\(D_i\)
1	12	10	\(-2\)
2	10	11	\(1\)
3	15	12	\(-3\)
4	9	8	\(-1\)
5	14	13	\(-1\)

\[ \bar D=-1{,}20,\qquad s_D=1{,}48, \qquad \operatorname{SE}(\bar D)=\frac{1{,}48}{\sqrt5}=0{,}66. \]

Como \(n=5\), usamos \(t^*_{4}=2{,}776\) para 95% de confiança:

\[ -1{,}20\pm2{,}776(0{,}66) =[-3{,}04;\ 0{,}64]\text{ dias}. \]

Interpretação

Em média, os pedidos chegaram 1,2 dia antes do previsto. Como o intervalo contém zero, os dados também são compatíveis com diferença média nula.

Atividade: comunique a incerteza

Uma amostra de 100 pedidos tem média de 13,1 dias e desvio padrão de 9 dias.

1. Calcule o erro padrão.
2. Construa um IC de 95%.
3. Interprete sem atribuir probabilidade ao parâmetro.
4. Como reduzir a margem pela metade?
5. Que suposição seria mais preocupante?

Resposta: comunique a incerteza

1. Erro padrão: \(\operatorname{SE}=9/\sqrt{100}=0{,}9\) dia.
2. IC de 95%: \(13{,}1\pm1{,}96(0{,}9)=13{,}1\pm1{,}764\), portanto \([11{,}34;14{,}86]\) dias.
3. Interpretação: usando um procedimento que cobre \(\mu\) em cerca de 95% das repetições, estimamos o tempo médio populacional entre 11,34 e 14,86 dias.
4. Metade da margem: mantendo variabilidade e confiança, precisamos de aproximadamente \(4n=400\) pedidos.
5. Maior preocupação: os 100 pedidos precisam representar a população-alvo e fornecer observações aproximadamente independentes. Concentração em poucos vendedores ou períodos viola essa condição.

O que aprendemos

1. O TCL descreve a distribuição amostral da média.
2. O erro padrão mede a variação entre amostras.
3. Um IC combina estimativa, erro padrão e valor crítico.
4. Confiança é cobertura em repetições.
5. Precisão depende de variabilidade, \(n\) e confiança.

Próxima aula

Um intervalo mostra valores plausíveis. Como avaliar uma afirmação específica?

Na Aula 11, construiremos testes de hipóteses, p-valores e poder estatístico.

Fonte dos dados

• Brazilian E-Commerce Public Dataset by Olist, Kaggle: olistbr/brazilian-ecommerce.
• Cerca de 100 mil pedidos reais e anonimizados, de 2016 a 2018.
• Material conceitual adaptado do PDF fornecido para a disciplina.